一道数据库选择题和一个概念问题
问题来源
这是一道经典的数据库选择题：
当关系模式R(A，B) 已属于 3NF，下列说法中()是正确的。
A.它一定消除了插入和删除异常
B.仍存在一定的插入和删除异常
C.一定属于BCNF
D.A和C都是
这道题目给出的答案是B。这引发了我的疑惑：都已经是二元关系了，为什么不一定是BCNF呢？BCNF难道不是消除了插入和删除异常吗？
问题分析
我去查了一下资料，发现StackOverflow上有一个很好的回答，这里直接给出结论：
- 当不考虑对空集的函数依赖时，每个二元关系都是BCNF的
- 当考虑对空集的函数依赖时，则不一定
证明翻译如下：
在只有两个属性A1和A2的示例中，我们有所有可能的非平凡依赖关系：
{} -> {A1}
{} -> {A2}
{} -> {A1 A2}
{A1} -> {A2}
{A2} -> {A1}
所有其他可能的依赖关系都是平凡的依赖关系，即右集是左集的子集（例如{A1} -> {}，{} -> {}，{A1} -> {A1}，{A1 A2} -> >{A1}等）。我们知道这些依赖关系总是成立的，因此它们不在正常形式的定义中考虑。
当从依赖关系中排除空集时，定理成立
考虑依赖关系4和5。我们有四种可能的情况：
- 只有4成立，因此我们有：{A1} -> {A2}
这意味着{A1}是候选键（因为从{A1} -> {A2}我们可以推导出{A1}->{A1 A2}），而BCNF条件得到满足，因为每个依赖关系都有一个超键作为决定因素；
- 只有5成立，因此我们有：{A2} -> {A1}
与前一种情况相同，只是A1和A2的角色交换了；
- 既没有4也没有5成立（没有函数依赖关系），
因此BCNF在形式上得到满足（因为没有依赖关系违反了BCNF）；
最后：
- 两者都成立，因此我们有{A1} -> {A2}和{A2} -> {A1}
在这种情况下，关系仍然在BCNF中，因为{A1}和{A2}都是候选键，因为它，；们确定了所有属性（简单地将1和2合并）。
当我们允许在函数依赖关系中使用空集时，该定理不成立
- 考虑关系R（A1，A2），其依赖关系集合F为F = { {}-> {A1} }
{} -> {A1}的含义，通过回顾函数依赖的定义，是A1列具有常量值。因此，我们有一个具有两列的关系，其中一个列始终具有相同的值。
在这种情况下，唯一的候选键是{A2}，因为{A2}+ = {A1 A2}，其中{A1 A2}是超键，并且该关系不在BCNF中，因为非平凡的函数依赖关系（{} -> {A1}）的决定因素不是超键。
所以C是错的。不过我们还需要探究的是，这样的情况下，是否存在插入和删除异常呢？
Bernstein P A, Goodman N. What does Boyce-Codd normal form do?[C]//VLDB. 1980: 245-259.论述了BCNF的有效性，指出在多表状况下BCNF存在问题。
那么在题目指出的情形下BCNF是否存在插入和删除异常呢？
我们也来分类讨论：
- 关系是BCNF
不存在函数依赖范围内的插入和删除异常，因为BCNF的定义就是消除了这些异常。同时也不存在非平凡的多值依赖，因而可以认为不存在任何插入和删除异常。
- 关系不是BCNF
此时，R(A1,A2)中至少一个属性是常数。这个时候是否存在插入和删除异常呢？
首先，我们给出一个插入和删除异常的定义：
-
插入异常:用于描述当向表中添加新行时导致不一致性的情况。 -
删除异常:用于描述当我们从表中删除某些行时，数据库中也会丢失任何必要的附加信息或数据的情况。
那么在有一列为常数的情况下，是否存在插入和删除异常呢？
我觉得可能是存在的。因为插入时，插入的数据可能和常数不同，导致不一致；删除时，可能丢失常数的信息。
因此，选择B是恰当的。
衍生问题
上面的讨论的情况可能有些特殊。但是在探究的过程中，我发现了一个比较常见的定义问题。
在我们教材《数据库系统概论（第5版）》6.2.2小节中说到：
如果U部分函数依赖于 K，即
K-P->U，则K称为超码 (Surpkey)。候选码是最小的超码，即K的任意一个真子集都不候选码。
显然这是自相矛盾的。对于候选码K，U完全依赖于K，而非部分依赖。因此，K-P->U是不成立的。所以候选码K不是超码。
好在这个问题在第6版中已经修正了。第6版中6.2.2小节中修正为：
候选码和超码有什么关系呢?候选码的超集(如果存在)一定是超码，候选码的任何真子集一定不是超码。
这样逻辑就自洽了。使用第5版的朋友需要注意这个问题。
我的一位老师曾说过：
数学就是玩概念。
虽然计算机或许更多的是工程学科，但是厘清概念也是很重要的。